La topologia de la xarxa de la fig. 1 és pot utilitzar en circuits oscil·ladors sinusoïdals, pel que  s'exposa a continuació.

 

             Un cas particular interessant és:   Z1 = Z4 = R   i   Z2 = Z3 = 1 / Cs , que s'indica a la fig. 2.

            Substituint valors a (5) i manipulant l'expressió s'arriba a:

            Comparant  el  coeficient  de  la   s   del denominador de (6) amb la seva forma estàndard:  3ω0 = 2ξω0   es veu que  ξ = 3/2  > 1  llavors, es tracta d'un sistema sobreamortit, i per tant estable, com era d'esperar ja que només consta d'elements passius.

            En el domini de la freqüència (s = jω), la (6) és:

que es representen gràficament a la fig. 3 -comproveu-ho.

 

           La xarxa és, doncs, un filtre passabanda, centrat a   ω0 , on les tensions estan en fase i la sortida val 1/3 de l'entrada.  Aquest comportament de la xarxa la fa candidata, com es veurà, a formar part d'un oscil·lador sinusoïdal de freqüència  f0 = ω0 / 2π . 

            Ara, amb aquesta xarxa fem un sistema realimentat com l'indicat a la fig. 4.

on  A  és el guany d'un amplificador ideal, és a dir, constant i independent de la freqüència.  La funció de transferència d'aquest sistema és:

          Substituint (6) a (11) i manipulant l'expressió s'arriba a:

 

             Es poden donar diverses situacions:

           • Si el guany  A  és positiu i inferior a  3 , llavors   0 < ξ = (3-A) / 2 < 3/2 ,  la resposta serà una sinusoide amortida, superposada a un esglaó d'amplitud  A  i el sistema serà estable -raoneu-ho.

             Si el guany  A  és igual a  3 , llavors  ξ = 0 , la resposta serà una sinusoide d'amplitud fixa, de freqüència angular  ω0 , superposada a un esglaó d'amplitud  A  i el sistema serà un oscil·lador marginalment estable -raoneu-ho.

             Si el guany  A  és superior a  3  però inferior a  5 , llavors   -1 < ξ < 0 , la resposta serà una sinusoide l'amplitud de la qual augmentarà amb el temps, superposada a un esglaó d'amplitud  A , el sistema serà inestable i es saturarà l'amplificador retallant els pics del senyal generat -raoneu-ho.  En aquestes condicions el sistema no necessita senyal d'entrada ja que al connectar la font d'alimentació els transitoris que es generen produeixen l'arrencada de l'oscil·lador -raoneu-ho- i a la fig. 3 es pot suprimir el sumador, tal com s'indica a la fig. 5 .

           • Si el guany és superior a  5 , l'amplificador del sistema es satura directament sense oscil·lacions -raoneu-ho.

            Així, per obtenir un oscil·lador amb la garantia de que arrenqui, el guany del amplificador haurà de ser una mica més gran que 3 -per exemple un 5% més- el que vol dir acceptar un cert grau de distorsió en el senyal de sortida  v2(t) -raoneu-ho.

            Expressant la (12) en el domini de la freqüència, tenim:

 

i a la freqüència  ω0 , la (16) serà:

que és el guany del sistema realimentat, a la freqüència  ω0 , en funció del guany  A  de l'amplificador.  La següent taula de valors i la seva representació gràfica (fig. 6), ens indiquen que el guany del sistema realimentat augmenta molt de pressa quan el guany  A  de l'amplificador s'acosta a  3 .

          Un altre concepte important a tenir en compte a l'hora de dissenyar un oscil·lador, és l'estabilitat del valor de la freqüència que genera.

             A  la (11), al producte   AB(s)  se'n diu guany del sistema en anell obert i hem vist que quan   A = 3   passa que    AB(jω0) = 3·(1/3) = 1   i el sistema es torna marginalment estable.

             En aquestes condicions la fase  ØAB(jω)  de  AB(jω) , que és igual a la fase de  B(jω)  ja que  A  és una constant real, hem vist que val zero:  ØAB(jωo) = 0   -per a qualsevol xarxa en general, aquesta condició s'amplia dient que val zero o un múltiple de  2π  radians -raoneu-ho. 

             ØAB  no depèn només de  ω  sinó que es pot veure alterada per factors ambientals externs, envelliment  de  components,  etc,  que  indicarem  genèricament  com  x1, x2, ··· . Així  escriurem ØAB(ω, x1, x2, ···). Com que la freqüència  ω0  que genera l'oscil·lador ve marcada per la intersecció d'aquesta corba de fase amb l'eix de freqüències, a continuació definirem un factor d'estabilitat del valor  ω0 . 

            Els factors  x1, x2, ···  també repercutiran en el guany  AB(jω) . Si el guany està prou sobredimensionat, el circuit no deixarà d'oscil·lar enfront d'aquests factors pertorbadors i en tot moment es complirà   ØAB = 0 , però apareixerà un desplaçament de la freqüència respecte del valor desitjat.  A la fig. 7 s'il·lustren aquestes  fluctuacions de la corba de fase que alteren el valor de  ω0 .

        La (19) ens diu que la variació relativa de freqüència   Δω / ω0   que es pugui produir serà tant més petita com més grans siguin la freqüència  ω0 i el pendent de la corba de fase en el punt d'intersecció d'aquesta amb l'eix de freqüències. A aquest denominador se n'hi diu  factor d'estabilitat  SF :

           En el cas concret que ens ocupa:

i substituint (28)  i (29) a (27), obtenim:   SF  = -2/3 .

            En definitiva; un procediment que se'n deriva d'aquesta anàlisi a l'hora de dissenyar un oscil·lador sinusoïdal, és:

             Utilitzarem un amplificador que a la freqüència desitjada  ω0  tingui un guany   A   que, a efectes pràctics,   es   pugui  considerar  un  nombre  real;  ja  sigui  positiu   -amplificador no inversor-   o   negatiu -amplificador inversor.

              Escollirem una xarxa de realimentació que contingui elements reactius, que a la freqüència desitjada  ω0   la tensió de sortida estigui en fase o en oposició amb la tensió d'entrada, és a dir, que el valor de la funció de transferència   B(jω)  a    ω0    sigui un nombre real, ja sigui positiu o negatiu.

               En principi, s'imposa al sistema la condició de marginalment estable, és a dir, que el guany en anell obert a   ω0  valgui la unitat:  AB(jω0) = 1.  Això implica que si  B(jω0) > 0, llavors haurà de ser  A > 0  i  si   B(jω0) < 0,  llavors haurà de ser  A < 0. 

               També es veu que el valor mínim del guany haurà de ser:  Amín = 1 / B(jω0) , el qual, com hem dit abans, caldrà d'augmentar una mica  -per exemple, un 5% més-  per assegurar l'arrencada de l'oscil·lador, per la qual cosa s'haurà d'acceptar un cert grau de distorsió del senyal de sortida  v2(t) -raoneu-ho.

                 Si el valor de  SF  resulta insuficient per mantenir el grau d'estabilitat desitjat del valor de la freqüència generada, llavors s'ha d'utilitzar una altra xarxa de realimentació que proporcioni un valor absolut de  SF    més gran.

            D'acord amb la fig. 5, l'esquemàtic del circuit a assajar s'indica a la fig. 8 .

           Totes les resistències són de 0,25W de dissipació.  Per obtenir una millor concordança entre les previsions i els resultats obtinguts, la tolerància d'aquestes resistències hauria de ser de l'1% . O també, per a cada resistència, combinar-ne dues del 5% de manera que el valor resultant mesurat s'acosti el més possible al desitjat. Per exemple, dues resistències del 5% de  12kΩ  i  68kΩ  en paral·lel, donen un valor mesurat molt proper a  10kΩ -comproveu-ho.

            De la mateixa manera, quan als condensadors, per a cadascun d'ells se'n poden combinar dos en paral·lel de manera que el valor resultant mesurat s'acosti el més possible al desitjat. Per a minimitzar les pèrdues en els condensadors i els resultats s'acostin el màxim possible a les previsions, cal que, al menys, el dielèctric dels condensadors de major capacitat sigui de plàstic -no ceràmic.

            En el muntatge que ha servit per preparar aquesta pràctica, tant per a les resistències com per als condensadors s'han combinat elements en paral·lel.

            Relació de components:

            A la fig. 9 s'indica la planificació del muntatge a la  protoboard  i a la fig. 10 una fotografia.

             Procediment:

              Ajusteu  R1  al seu màxim valor (100kΩ).

              Aneu disminuint el valor de  R1  fins que l'oscil·lador justament arrenqui. Mesureu el valor de la freqüència, que ha ser molt semblant a la prevista.

             Amb el multímetre mesureu el valor real de  R2  i el valor real de  R1  en aquestes condicions.

              Amb els valors anteriors calculeu el guany de l'amplificador:  A = 1 + (R2 / R1)  -raoneu-ho-

 el qual ha de coincidir sensiblement amb el previst.                               

            Disminuïu una mica més el valor de  R1  per augmentar una mica més el guany, tot observant les tensions   v2(t)  i  vi(t) .  Fixeu el grau de distorsió per a  v2(t) de manera que, engegant i parant l'oscil·lador, l'arrencada  quedi assegurada.

              Observeu l'efecte de filtre passabanda de la xarxa de realimentació a la vista de les formes d'ona de les tensions  v2(t)  i  vi(t).   

Escriure un comentari

:D:lol::-);-)8):-|:-*:oops::sad::cry::o:-?:-x:eek::zzz:P:roll::sigh:
1000 símbols


Códi de seguretat
Actualitzar

EU e-Privacy Directive

This website uses cookies to manage authentication, navigation, and other functions. By using our website, you agree that we can place these types of cookies on your device.

View e-Privacy Directive Documents

You have declined cookies. This decision can be reversed.

You have allowed cookies to be placed on your computer. This decision can be reversed.